Estatístico — CONRE 1ª Região Nº 11477
Correlação de Pearson;
Correlação de Spearman;
Regressão linear simples;
ANOVA;
Kruskal-Wallis;
GLM - Modelos Lineares Generalizados.
Na aula anterior, trabalhamos com os testes Qui quadrado de independência e Qui quadrado de aderência.
Em ambos os casos, tínhamos testes para trabalhar com variáveis categóricas. Hoje, veremos os testes para trabalhar com variáveis numéricas.
Nestes casos, usaremos técnicas como correlação, regressão, ANOVA, GLM e Kruskal-Wallis!
Esta é uma técnica paramétrica. Iremos calcular a correlação linear de Pearson no caso em que estamos comparando duas variáveis quantitativas (contínuas).
Esta métrica serve para a avaliar a relação linear entre duas variáveis.
Existe um pressuposto de normalidade na técnica (dados devem ser aproximadamente normais).
Pode ser sensível a valores outliers extremos.
Interpretação:
\(\rho \approx 0\): sem relação (ou relação muito fraca);
\(\rho>0 \rightarrow\) relação positiva;
\(\rho<0 \rightarrow\) relação negativa;
\(\rho \approx 1\) ou \(\rho \approx -1\): relação forte.
Exemplo 1) Como saber se existe relação linear entre massa corporal e comprimento do fêmur?
Resposta: Para responder a pergunta, a técnica que devemos usar é a correlação linear de Pearson!
Exemplo 2) Se, para altura da espécie e o comprimento da folha, observou-se o valor \(\rho = 0,7\), o que pode-se dizer sobre estas variáveis?
Resposta: Existe correlação linear positiva entre as variáveis altura e comprimento da folha, e esta é moderada para forte!
Isto é, se existem duas variáveis numéricas (aproximadamente normais), e queremos saber se elas aumentam ou diminuem juntas, usamos correlação linear de Pearson.
OBS: Técnica não paramétrica. Iremos utilizar a correlação de Spearman quando:
Temos duas variáveis numéricas, porém:
Não são normais;
Existem outliers;
Relação monotônica, mas não linear
OU, ainda:
Interpretação do valor da correlação de Spearman:
Exemplo 1) Impacto da Idade na Pressão Arterial
Exemplo 2) qualidade da água (baixa, média, alta) vs contagem do número de indivíduos de uma determinada espécie de peixe (contagem)
Objetivo desta técnica paramétrica: Modelar uma variável resposta (Y) (contínua) como função de uma variável explicativa (X) (contínua)
Pergunta desta técnica: Como e quanto Y muda quando X muda?
Hipóteses:
\(H_0)\) X não explica Y | Isto é, \(\beta_1=0\)
\(H_1\) \(\beta_1 \neq 0\)
Interpretação:
\(\beta_1 > 0 \rightarrow\) inclinação positiva (Y aumenta quando X aumenta);
\(\beta_1 < 0 \rightarrow\) inclinação negativa (Y diminui quando X aumenta);
Quando usar regressão, e não correlação?
Quando queremos prever Y a partir de X, ou entender o efeito de X sobre Y.
OBS: Não existe garantia de causa-efeito aqui (o sol nasce porque o galo canta?)
Exemplo) Ajustou-se um modelo de regressão linear simples, onde buscou-se metrificar o efeito da quantidade de adubo no crescimento de uma determinada espécie de planta. Observou-se o valor \(\beta_1 = 2,5\). A escala da variável quantidade de adubo está em gramas, e da variável altura da planta está em centímetros. O p-valor de \(\beta_1\) é 0,03.
Pergunta 1) Existe correlação linear entre as variáveis? Se sim, ela é positiva ou negativa?
Resposta: Sim, positiva.
Pergunta 2) O coeficiente \(\beta_1\) é significativo a \(\alpha = 0,05\)? E a \(\alpha = 0,01\)?
Resposta: É significativo a 5%, NÃO é significativo a 1%.
Pergunta 3) Qual é a interpretação do valor de \(\beta_1\)?
Resposta: Em média, para cada 1g de adubo adicionado, haverá um efeito de crescimento de 2,5 cm na altura da planta
Pergunta 4) Quais os pressupostos desta técnica?
Resposta:
Independência (dos erros) (das observações);
Normalidade (dos erros);
Homocedasticidade (Variância constante);
Linearidade
Análise de variância (ANOVA) é uma técnica paramétrica. Utilizaremos esta técnica quando queremos comparar, simultaneamente, a média de 3 ou mais grupos
Pressupostos:
Hipóteses:
\(H_0\): todas as médias são iguais;
\(H_1\): pelo menos uma média difere.
Exemplo: comparar altura média de plantas sob 3 tipos de adubação.
É a versão não paramétrica da ANOVA.
Quando usar?
Dados não normais;
Variâncias muito diferentes;
Variável ordinal.
Hipóteses:
\(H_0\): distribuições iguais;
\(H_1\): pelo menos um grupo difere.
Esta é uma técnica paramétrica. Podemos usar esta técnica quando, por exemplo, Y não é normal, OU quando o pressuposto de homocedasticidade não é atendido para a regressão linear.
Neste caso, utilizaremos outras famílias de distribuições, que não a distribuição normal.
Distribuições comuns:
Poisson → contagens;
Binomial → proporções / 0–1;
Gama → variáveis positivas e assimétricas.
Estrutura:
Escolha da distribuição;
Escolha da ligação (log, logit, identidade).
Exemplo: modelar número de insetos (contagem) em função da temperatura \(\rightarrow\) GLM Poisson.
1.1) ( ) É utilizado para comparar duas variáveis numéricas e verificar se são independentes.
1.2) ( ) As frequências esperadas devem ser suficientemente grandes para que o teste seja válido.
1.3) ( ) O teste assume normalidade dos dados.
1.4) ( ) Em uma tabela 2×2, o teste avalia se a proporção das categorias é igual entre os grupos.
1.5) ( ) O teste é indicado para investigar associações entre duas variáveis categóricas.
gabarito:
1.1) E: Qui-quadrado é para variáveis categóricas, não numéricas.
1.2) C: regra prática típica: esperados ≳ 5 (ou usar correções/exato de Fisher se não).
1.3) E: não exige normalidade das variáveis — trabalha com contagens/frequências.
1.4) C: em termos práticos, testa se as proporções são independentes entre linhas/colunas.
1.5) C: definição do teste.
Uma população de borboletas apresenta proporções teóricas de cores:
50% amarelas
25% brancas
25% azuis
Os pesquisadores coletaram 120 indivíduos, resultando em:
70 amarelas
25 brancas
25 azuis
Qual teste deve ser utilizado para avaliar se a distribuição observada segue o padrão esperado?
gabarito:
Teste Qui-quadrado de aderência.
Hipóteses:
\(H_0\): as frequências observadas seguem as proporções teóricas (50%, 25%, 25%).
\(H_1\): as frequências observadas não seguem as proporções teóricas.
temos uma variável categórica (cor) e queremos comparar observadas vs esperadas. (Observados: 70,25,25; Esperados: 120×(0.5,0.25,0.25) = 60,30,30).
Um estudo avalia se há associação entre a espécie de planta (A ou B) e a presença de um fungo (sim/não).
| Fungo Sim | Fungo Não
-----------|-----------|-----------
Planta A | 18 | 32
Planta B | 25 | 25
gabarito:
Teste: Qui-quadrado de independência (tabela 2×2).
Hipótese nula: \(H_0)\) = espécie da planta e presença do fungo são independentes (sem associação).
Conclusão com p = 0,03: rejeita-se \(H_0)\) ao nível 0,05 \(\rightarrow\) existe evidência de associação entre espécie e presença de fungo.
Interpretação biológica: a presença do fungo difere entre Planta A e Planta B (por exemplo, proporções: Planta A 18/50 = 36%; Planta B 25/50 = 50% \(\rightarrow\) Planta B parece ter maior prevalência).
Assinale a alternativa correta.
Para estudar se há relação entre o comprimento do bico e a massa corporal em aves, que são variáveis aproximadamente normais, o teste mais adequado é:
gabarito:
duas variáveis contínuas e aproximadamente normais \(\rightarrow\) Pearson.
Em uma análise de impacto ambiental, os pesquisadores registraram:
Nível de poluição da água: baixo, médio, alto
Número de indivíduos de um peixe sensível (contagem)
Qual técnica deve ser utilizada para avaliar se há relação entre a qualidade da água e a abundância da espécie? Justifique com base no tipo das variáveis.
gabarito:
Correlação de Spearman.
Qualidade da água é ordinal (baixo/médio/alto) e a abundância é contagem; Spearman funciona com ordinais ou quando a relação é monotônica (ou quando há não-normalidade).
(Alternativa plausível: se quiser modelar contagens ajustando covariáveis, usar GLM Poisson; mas para verificar associação simples, Spearman é adequado).
Foi encontrada correlação de \(\rho = -0,82\) entre o pH da água e a concentração de amônia.
gabarito:
Na regressão linear simples \(Y \sim X\):
gabarito:
Hipótese nula: \(H_0) \beta_1 = 0\) (X não explica Y).
\(\beta_1 > 0\) significa: aumento em X está associado a aumento médio esperado em Y (inclinação positiva).
Quando preferir regressão a correlação: quando queremos prever Y a partir de X ou estimar o efeito/coeficiente (quantificar mudança em Y por unidade de X), não apenas medir associação.
Um modelo de regressão encontrou:
\(Y = 2,1 + 0,45X\); P-valor de \(\beta_1\) = 0,004
Interprete o resultado.
gabarito:
O coeficiente \(\beta_1 = 0,45\) é estatisticamente significativo (p-valor = 0,004 < 0,05). Em média, para cada aumento de 1 unidade em X, Y aumenta 0,45 unidades. O intercepto 2,1 é a predição de Y quando X = 0 (interpretação prática depende do contexto).
Um pesquisador mediu a altura de plantas sob três tratamentos de fertilizante: A, B e C.
Os dados são normais, com variâncias iguais entre os grupos.
gabarito:
ANOVA, é o teste paramétrico mais poderoso. Poderia utilizar Kruskall-Wallis também, mas como são atendidos os pressupostos de normalidade e homocedasticidade, o correto é optar pelo teste mais poderoso!
O número de insetos observados em 4 áreas diferentes apresenta forte assimetria e variâncias desiguais.
Qual teste deve ser aplicado? O que significa rejeitar \(H_0)\) nesse teste?
gabarito:
Kruskal–Wallis. Significado de rejeitar \(H_0\): pelo menos um dos grupos difere (OBS: Normalmente procede-se com testes post-hoc para identificar quais grupos diferem).
Associe o tipo de variável resposta ao modelo GLM correspondente:
Número de flores por planta
Sobrevivência (0/1)
Taxa metabólica (valores positivos, assimétrica)
gabarito:
Número de flores por planta \(\rightarrow\) c) Poisson
Sobrevivência (0/1) \(\rightarrow\) a) Binomial
Taxa metabólica (positiva, assimétrica) \(\rightarrow\) b) Gama
Para modelar o número de larvas (contagem) em função da temperatura, o modelo adequado é:
gabarito:
Número de larvas é uma contagem, modelo natural é Poisson.
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